Table of coefficientss (corresponding to root lattices) of a Siegel cusp form of weight 12 and genus 12, normalized so the coefficient of d12 is 1. This eigenform is the following linear combination of genus 12 theta functions of Niemeier lattices. +1/152769576960*Theta(Leech) -1/3183476736*Theta(a1^24) +1/591224832*Theta(a2^12) -5/1146617856*Theta(a3^8) +13/1990656000*Theta(a4^6) -83/11943936000*Theta(a5^4 d4) +19/16307453952*Theta(d4^6) +41/15676416000*Theta(a6^4) -1/37158912000*Theta(a7^2 d5^2) -197/351151718400*Theta(a8^3) +59/214990848000*Theta(a9^2 d6) -13/229323571200*Theta(d6^4) -1/35831808000*Theta(a11 d7 e6) +1/143327232000*Theta(e6^4) +31/7685922816000*Theta(a12^2) +37/11415217766400*Theta(d8^3) -29/21069103104000*Theta(a15 d9) -1/7023034368000*Theta(d10 e7^2) +1/3511517184000*Theta(a17 e7) +53/4237899595776000*Theta(d12^2) -1/1332620771328000*Theta(a24) -1/3595793596416000*Theta(d16 e8) +1/10787380789248000*Theta(e8^3) +1/2729207339679744000*Theta(d24) Up to multiplication by a constant, this is the only linear combination of genus 12 theta functions of Niemeier lattices that is a cusp form. The only lattices shown in the table have rank 12, because the coefficient of any lattice of rank at most 11 is 0 There is a preprint "On the lifting of elliptic modular forms to Siegel cusp forms of degree 2n" by Tomotsu Ikeda (dated september 22 1999) that in section 16 explains the coefficients below in terms of the coefficients of the weight 13/2 cusp form related to the delta function. (In particular the coefficient depends only on the genus of the lattice.) det coefficient Lattice 4 1 d12 4 1 d4 e8 5 -1 a4 e8 8 2 a1 a3 e8 8 2 a1 d11 8 2 d5 e7 9 6 a2^2 e8 9 6 e6^2 12 -12 a1^2 a2 e8 12 -12 a2 d10 12 -12 a5 e7 12 -12 d6 e6 13 11 a12 16 40 a1 d4 e7 16 40 a1^2 d10 16 40 a1^4 e8 16 40 d6^2 16 -24 a3 d9 16 -24 d5 d7 16 -88 d4 d8 20 -8 a1 a4 e7 20 56 a4 d8 21 -42 a6 e6 24 108 a1 a11 24 108 a1 a2 d9 24 108 a1 d5 e6 24 108 a2 a3 e7 24 108 a5 d7 28 -112 a6 d6 32 -48 a1 a3 d8 32 -48 a1 d4 d7 32 -48 a1 d5 d6 32 -48 a1^2 a3 e7 32 -48 a1^3 d9 32 -176 a7 d5 33 54 a2 a10 36 9 a8 d4 36 48 a2^2 d8 36 738 a2 d4 e6 36 -336 a1 a2^2 e7 36 -336 a1 a5 e6 40 -196 a1 a4 d7 40 -196 a3 a9 44 364 a1^2 a10 45 234 a2 a4 e6 45 -495 a4 a8 48 288 a1 a5 d6 48 288 a1^2 a2 d8 48 288 a1^2 d4 e6 48 288 a1^3 a2 e7 48 288 a2 d4 d6 48 288 a5 a7 48 -480 a2 a3 d7 48 1056 a2 d5^2 48 1056 a3^2 e6 49 1260 a6^2 56 -728 a1 a6 d5 60 432 a1 a2 a9 60 432 a1^2 a4 e6 60 432 a2 a4 d6 64 1088 a1^2 a3 d7 64 1088 a1^2 d4 d6 64 1088 a1^2 d5^2 64 1088 a1^4 d8 64 1088 a1^5 e7 64 1088 a3^2 d6 64 4160 a3 d4 d5 64 -3008 a1 a7 d4 64 23616 d4^3 72 990 a1 a3 a8 72 -468 a1 a2 a3 e6 72 -468 a2 a5 d5 72 2448 a1 a2^2 d7 80 2240 a1 a4 a7 80 2752 a3 a4 d5 80 6336 a1^3 a9 80 -1856 a1^2 a4 d6 80 -9024 a4 d4^2 81 5886 a2^2 a8 81 -7236 a2^3 e6 84 -336 a1 a5 a6 84 -3024 a2 a6 d4 96 4320 a2 a3 a7 96 -2592 a1 a2 a3 d6 96 -2592 a1 a2 d4 d5 96 -2592 a1^2 a5 d5 96 -2592 a1^3 a2 d7 96 -2592 a1^3 a3 e6 96 -2592 a3 a5 d4 100 17330 a4^2 d4 105 -2268 a2 a4 a6 108 5724 a1^2 a2 a8 108 -3024 a1^2 a2^2 e6 108 -3024 a2 a5^2 108 -3024 a2^3 d6 112 2688 a1^2 a6 d4 112 -4480 a3^2 a6 120 1032 a1 a2 a4 d5 120 1032 a3 a4 a5 125 -4830 a4^3 128 -2944 a1 a3^2 d5 128 -2944 a1^2 a3 a7 128 13440 a1 a3 d4^2 128 13440 a1^3 a3 d6 128 13440 a1^3 d4 d5 128 13440 a1^5 d7 140 5432 a1^2 a4 a6 144 360 a1^4 a8 144 -4224 a1 a2^2 a7 144 20352 a1^2 a2^2 d6 144 20352 a1^2 a5^2 144 26496 a2^2 d4^2 144 29520 a1 a2 a5 d4 144 29520 a1^4 a2 e6 144 -25728 a2^2 a3 d5 160 4704 a1 a3 a4 d4 160 4704 a1^3 a4 d5 168 22680 a1 a2 a3 a6 180 1872 a1 a2 a4 a5 180 -88128 a2^2 a4 d4 189 -10584 a2^3 a6 192 17664 a1 a3^2 a5 192 17664 a1^2 a2 a3 d5 192 66816 a1^3 a2 a7 192 -43776 a2 a3^2 d4 192 -80640 a1^2 a2 d4^2 192 -80640 a1^3 a5 d4 192 -80640 a1^4 a2 d6 192 -80640 a1^6 e6 200 -15340 a1 a3 a4^2 216 27216 a1 a2^3 d5 216 27216 a2^2 a3 a5 224 17472 a1^3 a3 a6 225 103980 a2^2 a4^2 240 17280 a2 a3^2 a4 240 -10368 a1^2 a2 a4 d4 240 -10368 a1^3 a4 a5 252 80640 a1^2 a2^2 a6 256 96768 a3^4 256 -42496 a1^2 a3^2 d4 256 -42496 a1^4 a3 d5 256 154112 a1^5 a7 256 612864 a1^4 d4^2 256 612864 a1^6 d6 288 11232 a1^2 a2 a3 a5 288 -58752 a1 a2^2 a3 d4 288 -58752 a1^3 a2^2 d5 300 92040 a1^2 a2 a4^2 320 93696 a1^4 a4 d4 320 224768 a1^2 a3^2 a4 324 405216 a1 a2^3 a5 324 1970568 a2^4 d4 336 266112 a1^4 a2 a6 360 141120 a1 a2^2 a3 a4 384 725760 a1^3 a2 a3 d4 384 725760 a1^4 a3 a5 384 725760 a1^5 a2 d5 384 -158976 a1 a2 a3^3 400 693200 a1^4 a4^2 405 -990792 a2^4 a4 432 72576 a1^2 a2^3 d4 432 72576 a1^3 a2^2 a5 432 266112 a2^3 a3^2 448 -752640 a1^6 a6 480 -24768 a1^3 a2 a3 a4 512 -224256 a1^3 a3^3 512 -1797120 a1^5 a3 d4 512 -1797120 a1^7 d5 540 108864 a1^2 a2^3 a4 576 802944 a1^5 a2 a5 576 2362368 a1^2 a2^2 a3^2 576 -3142656 a1^4 a2^2 d4 640 -1317120 a1^5 a3 a4 648 1981584 a1 a2^4 a3 720 7755264 a1^4 a2^2 a4 729 51084432 a2^6 768 1345536 a1^4 a2 a3^2 768 10782720 a1^6 a2 d4 768 10782720 a1^7 a5 864 -653184 a1^3 a2^3 a3 960 2903040 a1^6 a2 a4 972 -17768160 a1^2 a2^5 1024 47026176 a1^6 a3^2 1024 153980928 a1^8 d4 1152 16450560 a1^5 a2^2 a3 1280 -89149440 a1^8 a4 1296 78822720 a1^4 a2^4 1536 -97044480 a1^7 a2 a3 1728 -20321280 a1^6 a2^3 2048 1777213440 a1^9 a3 2304 879943680 a1^8 a2^2 3072 -10663280640 a1^10 a2 4096 271521054720 a1^12